Τι (ποιος) είναι Спектральное разложение - ορισμός
РАЗЛОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ В ВИДЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 3 МАТРИЦ ПО СОБСТВЕННЫМ ВЕКТОРАМ
Спектральное разложение; Обобщённая задача нахождения собственных значений
Спектральное разложение
I
Спектра́льное разложе́ние
линейного оператора, представление линейного оператора А (См. Линейный оператор) в виде линейной комбинации операторов проектирования на взаимно перпендикулярные оси или (более общо) в виде специального интеграла, содержащего под знаком интегрирования семейство операторов проектирования, удовлетворяющее определённым условиям (так называемое разложение единицы, отвечающее оператору А). Изучение С. р. и их возможных обобщений для различных типов линейных операторов составляет основное содержание спектрального анализа (См. Спектральный анализ) линейных операторов.
II
Спектра́льное разложе́ние
случайной функции, разложение случайной функции (См. Случайная функция) (в частности, случайного процесса (См. Случайный процесс)) в ряд или интеграл по той или иной специальной системе функций такое, что коэффициенты этого разложения представляют собой взаимно некоррелированные случайные величины. Наиболее известный класс С. р. случайных функций - представления стационарных случайных процессов (См. Стационарный случайный процесс) Х (t) в виде интеграла Фурье - Стилтьеса
,
где Z(λ) - случайная функция с некоррелированными приращениями. Существование такого С. р. показывает, что стационарный случайный процесс всегда можно рассматривать как наложение некоррелированных друг с другом гармонических колебаний различных частот со случайными фазами и амплитудами. С. р. аналогичного вида, но с заменой гармонических колебаний n-мерными плоскими волнами, имеет место и для однородных случайных полей в n-мерном пространстве. Другой тип С. р. случайных функций - это разложение случайного процесса X(t), заданного на конечном отрезке оси (или, более общо, случайной функции X(t), заданной на ограниченной области n-мерного пространства), в ряд вида
,
где φk(t) и λk - собственные Функции и Собственные значения интегрального оператора в функциональном пространстве с ядром, равным корреляционной функции случайного процесса (или функции) X(t), a Zk, k = 1, 2,..., - последовательность попарно некоррелированных случайных величин единичной дисперсии. С. р. специального вида имеют место также для однородных и изотропных случайных полей в евклидовых пространствах и для однородных полей на пространствах с группой преобразований, отличных от евклидова пространства.
Лит.: Яглом А. М., Спектральные представления для различных классов случайных функций, в кн.; Труды 4-го Всесоюзного математического съезда, т. 1, Л., 1963, с. 250-73: Гихман И. И., Скороход А. В., Теория случайных процессов, т.1, М., 1971.
А. М. Яглом.
III
Спектра́льное разложе́ние
функции, разложение функции в ряд по собственным функциям (См. Собственные функции) некоторого линейного оператора (См. Линейный оператор) (например, конечно-разностного, дифференциального или интегрального), действующего в функциональном пространстве, или одно из возможных обобщений такого разложения. Частным случаем С. р. является разложение функции, заданной на конечном отрезке, в Фурье ряд (т. е. гармонический анализ колебаний), а также разложения по другим известным полным системам функций (См. Полная система функций). В случае линейного оператора А, имеющего непрерывный спектр, собственные функции, понимаемые в обычном смысле, не существуют; тем не менее и здесь весьма часто удаётся определить эти функции (но только они уже не будут являться элементами того функционального пространства, в котором действует оператор А) и задать С. р. широкого класса функций как разложение в интеграл по системе функций, зависящей от непрерывно изменяющегося аргумента (пример С. р. этого типа - разложение в Фурье интеграл). Для несамосопряжённых операторов А наряду с собственными функциями приходится рассматривать ещё и цепочки функций, присоединённых к собственным функциям; однако и для таких операторов в функциональных пространствах во многих случаях удаётся доказать теорему о полноте системы всех собственных и присоединённых функций и, исходя отсюда, получить С. р. широкого класса функций по всевозможным собственным и присоединённым функциям оператора А.
С. р. функций широко используются для решения различных конечно-разностных, дифференциальных и интегральных уравнений и находят многочисленные приложения в задачах классической механики (особенно теории колебаний), электродинамики, квантовой механики, теории связи, теории автоматического управления и других разделах математической физики и прикладной математики.
Лит.: Березанский Ю. М., Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов, К., 1965; Титчмарш Э. Ч., Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка, пер. с англ., т. 1-2, М., 1960-61; Наймарк М. А., Линейные дифференциальные операторы, 2 изд., М., 1969; Левитан Б. М., Capгсян И. С., Введение в спектральную теорию (самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы), М., 1970.
А. М. Яглом.
Спектральное уплотнение каналов
Спектральное разделение каналов; CWDM; Мультиплексор (оптика)
Спектральное уплотнение каналов, мультиплексирование со спектральным разделением (, сокр. — мультиплексирование с разделением по длине волны) — принцип разделения спектрального ресурса оптического волокна между длинами световых волн с последующим мультиплексированием, позволяющий одновременно передавать несколько информационных каналов по одному оптическому волокну на разных несущих частотах.
Разложение Холецкого
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИММЕТРИЧНОЙ ПОЛОЖИТЕЛЬНО-ОПРЕДЕЛЁННОЙ МАТРИЦЫ В ВИДЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Теорема Холецкого; Разложение Холесского; Метод квадратных корней; Метод квадратного корня
Разложе́ние Холе́цкого (метод квадратного корня) — представление симметричной положительно определённой матрицы A в виде A = LL^T, где L — нижняя треугольная матрица со строго положительными элементами на диагонали. Иногда разложение записывается в эквивалентной форме: A = U^TU, где U = L^T — верхняя треугольная матрица.
Βικιπαίδεια
Спектральное разложение матрицы
Cпектральное разложение матрицы или разложение матрицы на основе собственных векторов — представление квадратной матрицы в виде произведения трёх матриц , где — матрица, столбцы которой являются собственными векторами матрицы , — диагональная матрица с соответствующими собственными значениями на главной диагонали, — матрица, обратная матрице .
В таком виде могут быть представлены только матрицы, обладающие полным набором собственных векторов, то есть набором из n линейно независимых собственных векторов, где n — порядок матрицы .
Спектральное разложение может использоваться для нахождения собственных значений и собственных векторов матрицы, решения систем линейных уравнений, обращения матрицы, нахождения определителя матрицы и вычисления аналитических функций от матриц.
